Identidades basicas dl álgebra booleana

Existen 17 diferentes del álgebra bouleana las cuales nos ayudan a simplificar las ecuaciones o diagramas bouleanas.
Nueve de estas identidades muestran una relación entre una variable x, su complemento X- y las constantes binarias 0 y 1. Cinco más son similares al álgebra ordinaria y otras tres son útiles para la manipulación de expresiones Bouleanas. Dentro de estas identidades tenemos dualidad, ésto se obtiene simplemente intercambiando operaciones or y and, así como remplazar unos por ceros. Las leyes conmutativas indican que el orden de las variables no afectan el resultado cuando se usen operaciones or y and. las leyes asociativas postulan que el resultado de formar una operación entre tres variables es independiente del orden que se siga, por lo tanto pueden eliminarse sin escepción todos los paréntesis.
También se suele usar el teorema Morgan. El cual es muy importante ya que aplica operaciones para obtener el complemento de una expresión. El teorema de Morgan se puede verificar por medio de la tabla de verdad que asigna todos los valores binarios posibles a x y y.

Manipulación algebráica.
El álgebra booleana, es una herramienta útil para simplificar circuitos digitales.
Por ejemplo: F= x^ yz + x^yz^+ xz
F=x^y(z+z^)+xz
F= x^y .1 + xz
F= x^y + xz



Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

Teorema 1: A + A = A
Teorema 2: A · A = A
Teorema 3: A + 0 = A
Teorema 4: A · 1 = A
Teorema 5: A · 0 = 0
Teorema 6: A + 1 = 1
Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
Teorema 9: A + A · B = A
Teorema 10: A · (A + B) = A
Teorema 11: A + A'B = A + B
Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
Teorema 13: AB + AB' = A
Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
Teorema 15: A + A' = 1
Teorema 16: A · A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.

Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro) que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
Propiedades Del Álgebra De Boole

Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
Maximalidad del 1: x + 1 = 1
Minimalidad del 0: x0 = 0
Involución: x'' = x
Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
Ley de Morgan respecto a la segunda función